Geçen Kasım ayında, İngiltere’nin Doğu Yorkshire kentindeki Bridlington’dan form hobisi olduğunu ilan eden David Smith, on yıllık başarısız girişimlerin ardından, döşeme matematiğindeki açık bir sorunu nihayet çözmüş olabileceğini tahmin etti: yani, çözebileceğini düşündü. keşfedilen bir “Einstein” olsun.
Daha az şiirsel bir ifadeyle, bir Einstein “periyodik olmayan tek parçalı”, bir düzlemi veya sonsuz iki boyutlu düz yüzeyi döşeyen, ancak yalnızca tekrarlanmayan bir modelde olan bir şekildir. (“Einstein” terimi, Almanca “ein stein” veya “ein Stein” – daha gevşek, “bir Fliese” veya “bir şekil” kelimesinden gelir.) Tipik duvar kağıdınız veya karo zemin, kendisini periyodik olarak tekrar eden sonsuz bir modelin parçasıdır; Kaydırılırsa veya “çevrilirse”, desen tam olarak kendi üzerine yerleştirilebilir. Periyodik olmayan döşeme, böyle bir “öteleme simetrisi” sergilemez ve matematikçiler uzun süredir düzlemi bu şekilde döşeyebilecek tek bir şekil aradılar. Bu Einstein problemi olarak bilinir.
Diğer işlerin yanı sıra matbaacı olarak çalışan ve erken emekli olan 64 yaşındaki Bay Smith, “Her zaman şekillerle oynuyorum ve şekillerle deneyler yapıyorum” dedi. Lisede matematiği sevmesine rağmen bunda pek iyi olmadığını söyledi. Ancak Einstein problemi uzun süredir “takıntılı bir şekilde büyülenmiş” durumda.
Ve şimdi, Bay Smith ve matematiksel ve hesaplama uzmanlığına sahip üç ortak yazar tarafından hazırlanan yeni bir makale, Bay Smith’in keşfinin doğru olduğunu kanıtlıyor. Araştırmacılar, bir fötr şapkaya benzediği için Einstein’larına “şapka” adını verdiler. (Bay Smith genellikle kafasına bir bandana takar.) Makale henüz hakem denetiminden geçmedi.
Haber tarafından sağlanan makalenin ilk nüshasını okuyan Duke Üniversitesi’nden fizikçi Joshua Socolar, bir e-postada, “Bu olağanüstü bir keşif gibi görünüyor!” dedi. “Benim için en önemli husus, karoların bizim anladığımız bilinen yapı sınıflarının hiçbirine açıkça girmemesi.”
“Matematiksel sonuç, bazı ilginç fizik sorularını gündeme getiriyor” diye ekledi. “Böyle bir iç yapıya sahip bir malzemeyle karşılaşmak veya yaratmak hayal edilebilir.” Tazmanya, Burnie’de bağımsız bir araştırmacı olan Socolar ve Joan Taylor, daha önce bazılarının kuralları esnettiğini söylediği ayrı parçalardan oluşan altıgen bir monotil bulmuşlardı. (Ayrıca Socolar-Taylor karosunun bağlantılı bir 3 boyutlu versiyonunu da buldular.)
20.426’dan bire
Başlangıçta, matematiksel döşeme geniş bir soruyla motive edildi: Düzlemi yalnızca düzensiz bir şekilde döşeyebilecek bir dizi şekil var mıydı? 1961’de matematikçi Hao Wang, bu tür kümelerin imkansız olduğu varsayımında bulundu, ancak öğrencisi Robert Berger kısa süre sonra bu varsayımın yanlış olduğunu kanıtladı. doktor Berger, periyodik olmayan 20.426 karoluk bir set ve ardından 104’lük bir set keşfetti.
Sonra oyun şu hale geldi: Ne kadar az taş yeterli olur? 1970’lerde, Oxford Üniversitesi’nde kara delikler üzerine yaptığı araştırma nedeniyle 2020 Nobel Fizik Ödülü’nü alan matematiksel fizikçi Sir Roger Penrose sayıyı ikiye indirdi.
Diğerleri o zamandan beri iki karo için formlar buldu. Makalenin başka bir yazarı olan ve aynı zamanda New York’taki Ulusal Matematik Müzesi’nde sosyal yardım matematikçisi unvanına sahip olan Arkansas Üniversitesi’nde profesör olan Chaim Goodman-Strauss, “Bende bir veya iki tane var” dedi.
Siyah ve beyaz karelerin, tanıdık periyodik dama tahtası desenine ek olarak garip, periyodik olmayan desenler oluşturabileceğini buldu. “Garip ve ilginç desenler yaratabilmek gerçekten çok önemsiz” dedi. İki Penrose karosunun büyüsü, yalnızca periyodik olmayan desenler üretmeleridir – yapabilecekleri tek şey budur.
“Ama o zaman Kutsal Kâse, bir – bir taşla idare edebilir miydin?” dedi Dr. Goodman-Strauss.
Sadece birkaç yıl önce, Sir Roger bir Einstein arıyordu ama bu keşfi bir kenara bıraktı. “Sayıyı ikiye indirdim, şimdi bire indirdik!” şapka hakkında dedi. “Bu bir başarı. Buna inanmamak için bir sebep göremiyorum.”
Makale, her ikisi de Cambridge, İngiltere’de bir ortak yazar ve yazılım mühendisi olan Joseph Myers tarafından gerçekleştirilen iki kanıt sağladı. Biri, önceki bir yönteme ek olarak özel koda dayalı geleneksel bir kanıttı; bir diğeri Dr. tarafından geliştirilen yeni, bilgisayarsız bir teknik kullandı. Myers geliştirildi.
Sir Roger, kanıtı “çok karmaşık” buldu. Yine de Einstein’dan “son derece büyülenmişti” ve şöyle dedi: “Gerçekten iyi bir şekil, dikkat çekici derecede basit.”
yaratıcı el işleri
Sadelik dürüstçe geldi. Bay Smith’in soruşturmaları çoğunlukla elle yapıldı; ortak yazarlarından biri onu “hayal gücü kuvvetli bir mucit” olarak tanımladı.
Başlangıçta, Delft, Hollanda’da bir kiremitçi ve bulmaca teorisyeni olan Jaap Scherphuis tarafından geliştirilen yazılım olan PolyForm Puzzle Solver ile bilgisayar ekranında “el yordamıyla oynuyordu”. Ancak bir şeklin potansiyeli olduğunda, Bay Smith 32 kart stoğu kopyasından oluşan bir başlangıç partisi oluşturmak için bir Silhouette kesme makinesi kullanırdı. Daha sonra karoları boşluk veya üst üste binme olmaksızın bir yapboz gibi birbirine yerleştirdi, karoları gerektiği gibi çevirdi ve döndürdü.
Bay Smith, “Dahil olmak her zaman güzeldir,” dedi. “Oldukça meditatif olabilir. Ve bir şeklin nasıl mozaiklenip, nasıl mozaiklenmediğinin daha iyi anlaşılmasını sağlıyor.”
Kasım ayında, uçağı tekrarlayan bir desen olmadan dolduruyor gibi görünen bir karo bulduğunda, Waterloo Üniversitesi’nde ortak yazar ve bilgisayar bilimcisi olan Craig Kaplan’a bir e-posta gönderdi.
Bay Smith, “Bu şekil sözde ‘Einstein sorununa’ bir cevap olabilir mi – şimdi bu bir şey olmaz mı?” diye yazdı.
“Bu şekille olağandışı bir şey olduğu açıktı,” dedi Dr. papaz Algoritması, önceki araştırmalara dayanan hesaplamalı bir yaklaşım kullanarak, her zamankinden daha büyük şapka döşemeleri oluşturdu. “Yazılımın ne kadar büyük bir karo bloğu oluşturabileceğinin bir sınırı yok gibiydi” dedi.
Bu ham verilerle, Bay Smith ve Dr. Kaplan’ın hiyerarşik yapısı ile karoların gözü. doktor Kaplan, geleneksel bir aperiyodiklik kanıtını açan bir anlatı davranışını keşfetti ve deşifre etti – matematikçilerin “periodik olmayan karo adayınız olduğunda çekmeceden çıkardıkları yöntem” dedi.
İlk adım, dedi Dr. Kaplan, “bir, iki veya dört şapkadan oluşan küçük gruplamaları temsil eden basit şekiller olan dört ‘metatil’ kümesini tanımlayacaktı.” Metatiller, benzer şekilde davranan dört büyük şekil halinde birleşir. Dr. papaz “Daha sonra, bu tür bir hiyerarşik düzenlemenin esasen uçağı şapkalarla döşemenin tek yolu olduğunu ve bunun da uçağın asla periyodik olarak döşenemeyeceğini göstermek için yeterli olduğunu gösteriyoruz.”
“Çok akıllıca” dedi Dr. Lexington, Massachusetts’te emekli bir elektrik mühendisi olan Berger, bir röportajda. Kulağa titiz gelme riskini göze alarak, şapka döşemesi yansımaları kullandığından – şapka şeklindeki döşeme ve onun ayna görüntüsü – bazılarının bunun tek bir döşeme yerine iki döşemeli aperiodik monotil bir küme olup olmadığını merak edebileceğine dikkat çekti.
doktor Goodman-Strauss bu inceliği bir döşeme listesinde ele almıştı: “Bir veya iki şapka var mı?” Fikir birliği, bir monotilin yansımasını kullanırken bile böyle sayılmasıydı. Bu açık bir soru bırakıyor, dedi Dr. Berger: İşi düşünmeden yapan bir Einstein var mı?
Altıgenlerde saklan
doktor Kaplan, “şapkanın” yeni bir geometrik icat olmadığını açıkladı. Bu bir poli ejderhadır – sekiz ejderhadan oluşur. (Bir altıgen alın ve her bir kenarın merkezini karşı tarafın merkezine bağlayan üç çizgi çizin; ortaya çıkan altı şekil uçurtmadır.)
Dr. papaz “Görünürde saklandığını düşünmek hoşuma gidiyor.”
Smith College’da matematikçi olan Marjorie Senechal, “Bir bakıma orada oturmuş birinin onu bulmasını bekliyordu” dedi. Senechal’in araştırması, ilgili matematiksel kristalografi alanını ve yarı kristalli bileşikleri araştırıyor.
Araştırmaları periyodik karoların, özellikle de Hollandalıların matematiksel analizine odaklanan Moravya Üniversitesi’nden matematikçi Doris Schattschneider, “Beni en çok etkileyen şey, bu periyodik olmayan karoların mümkün olduğunca periyodik olan altıgen bir kafes üzerinde düzenlenmesidir” dedi. sanatçı MC Escher.
doktor Seneçal kabul etti. “Tam altıgenlere oturuyor,” dedi. “Kaç kişi dünyayı tekmeleyecek ve bunu neden görmediğimi merak edecek?”
Einstein ailesi
İnanılmaz bir şekilde, Bay Smith daha sonra ikinci bir Einstein buldu. Ona “kaplumbağa” adını verdi – sekiz yerine on ejderhadan oluşan bir polidrake. “Ürkütücüydü” dedi Dr. papaz Paniklediğini hatırladı; o zaten “boynuna kadar şapkasının içindeydi”.
Ama doktor Benzer hesaplamalar yapmış olan Myers, hemen şapka ile kaplumbağa arasında derin bir bağlantı keşfetti. Ve aslında bütün bir akraba Einstein ailesi olduğunu fark etti – birbirine dönüşen kesintisiz, sayılamayan bir sonsuz form.
Bay Smith, diğer bazı aile üyelerinden o kadar etkilenmemişti. “Biraz sahtekarlara veya mutantlara benziyorlardı” dedi.
Ancak bu Einstein ailesi, periyodikliği kanıtlamak için yeni bir araç sunan ikinci kanıtı motive etti. Matematik “gerçek olamayacak kadar iyi” görünüyordu, dedi Dr. Bir e-postada Myers. “Periyodikliği kanıtlamak için bu kadar farklı bir yaklaşım beklemiyordum – ancak ayrıntıları yazarken her şey yerine oturdu.”
doktor Goodman-Strauss, yeni tekniği keşfin çok önemli bir yönü olarak görüyor; Bugüne kadar, yalnızca bir avuç düzensizlik kanıtı vardı. Bunun “güçlü peynir” olduğunu, belki de sadece ölümcül uzmanlar için bir şey olduğunu kabul etti. İşlem yapması birkaç gün sürdü. “Sonra bayıldım” dedi.
Bay Smith, araştırma çalışmasının bir araya geldiğini görünce şaşırdı. “Dürüst olmak gerekirse hiç yardımcı olmadım.” Resimleri takdir ederek, “Ben daha çok imaj insanıyım” dedi.
Daha az şiirsel bir ifadeyle, bir Einstein “periyodik olmayan tek parçalı”, bir düzlemi veya sonsuz iki boyutlu düz yüzeyi döşeyen, ancak yalnızca tekrarlanmayan bir modelde olan bir şekildir. (“Einstein” terimi, Almanca “ein stein” veya “ein Stein” – daha gevşek, “bir Fliese” veya “bir şekil” kelimesinden gelir.) Tipik duvar kağıdınız veya karo zemin, kendisini periyodik olarak tekrar eden sonsuz bir modelin parçasıdır; Kaydırılırsa veya “çevrilirse”, desen tam olarak kendi üzerine yerleştirilebilir. Periyodik olmayan döşeme, böyle bir “öteleme simetrisi” sergilemez ve matematikçiler uzun süredir düzlemi bu şekilde döşeyebilecek tek bir şekil aradılar. Bu Einstein problemi olarak bilinir.
Diğer işlerin yanı sıra matbaacı olarak çalışan ve erken emekli olan 64 yaşındaki Bay Smith, “Her zaman şekillerle oynuyorum ve şekillerle deneyler yapıyorum” dedi. Lisede matematiği sevmesine rağmen bunda pek iyi olmadığını söyledi. Ancak Einstein problemi uzun süredir “takıntılı bir şekilde büyülenmiş” durumda.
Ve şimdi, Bay Smith ve matematiksel ve hesaplama uzmanlığına sahip üç ortak yazar tarafından hazırlanan yeni bir makale, Bay Smith’in keşfinin doğru olduğunu kanıtlıyor. Araştırmacılar, bir fötr şapkaya benzediği için Einstein’larına “şapka” adını verdiler. (Bay Smith genellikle kafasına bir bandana takar.) Makale henüz hakem denetiminden geçmedi.
Haber tarafından sağlanan makalenin ilk nüshasını okuyan Duke Üniversitesi’nden fizikçi Joshua Socolar, bir e-postada, “Bu olağanüstü bir keşif gibi görünüyor!” dedi. “Benim için en önemli husus, karoların bizim anladığımız bilinen yapı sınıflarının hiçbirine açıkça girmemesi.”
“Matematiksel sonuç, bazı ilginç fizik sorularını gündeme getiriyor” diye ekledi. “Böyle bir iç yapıya sahip bir malzemeyle karşılaşmak veya yaratmak hayal edilebilir.” Tazmanya, Burnie’de bağımsız bir araştırmacı olan Socolar ve Joan Taylor, daha önce bazılarının kuralları esnettiğini söylediği ayrı parçalardan oluşan altıgen bir monotil bulmuşlardı. (Ayrıca Socolar-Taylor karosunun bağlantılı bir 3 boyutlu versiyonunu da buldular.)
20.426’dan bire
Başlangıçta, matematiksel döşeme geniş bir soruyla motive edildi: Düzlemi yalnızca düzensiz bir şekilde döşeyebilecek bir dizi şekil var mıydı? 1961’de matematikçi Hao Wang, bu tür kümelerin imkansız olduğu varsayımında bulundu, ancak öğrencisi Robert Berger kısa süre sonra bu varsayımın yanlış olduğunu kanıtladı. doktor Berger, periyodik olmayan 20.426 karoluk bir set ve ardından 104’lük bir set keşfetti.
Sonra oyun şu hale geldi: Ne kadar az taş yeterli olur? 1970’lerde, Oxford Üniversitesi’nde kara delikler üzerine yaptığı araştırma nedeniyle 2020 Nobel Fizik Ödülü’nü alan matematiksel fizikçi Sir Roger Penrose sayıyı ikiye indirdi.
Diğerleri o zamandan beri iki karo için formlar buldu. Makalenin başka bir yazarı olan ve aynı zamanda New York’taki Ulusal Matematik Müzesi’nde sosyal yardım matematikçisi unvanına sahip olan Arkansas Üniversitesi’nde profesör olan Chaim Goodman-Strauss, “Bende bir veya iki tane var” dedi.
Siyah ve beyaz karelerin, tanıdık periyodik dama tahtası desenine ek olarak garip, periyodik olmayan desenler oluşturabileceğini buldu. “Garip ve ilginç desenler yaratabilmek gerçekten çok önemsiz” dedi. İki Penrose karosunun büyüsü, yalnızca periyodik olmayan desenler üretmeleridir – yapabilecekleri tek şey budur.
“Ama o zaman Kutsal Kâse, bir – bir taşla idare edebilir miydin?” dedi Dr. Goodman-Strauss.
Sadece birkaç yıl önce, Sir Roger bir Einstein arıyordu ama bu keşfi bir kenara bıraktı. “Sayıyı ikiye indirdim, şimdi bire indirdik!” şapka hakkında dedi. “Bu bir başarı. Buna inanmamak için bir sebep göremiyorum.”
Makale, her ikisi de Cambridge, İngiltere’de bir ortak yazar ve yazılım mühendisi olan Joseph Myers tarafından gerçekleştirilen iki kanıt sağladı. Biri, önceki bir yönteme ek olarak özel koda dayalı geleneksel bir kanıttı; bir diğeri Dr. tarafından geliştirilen yeni, bilgisayarsız bir teknik kullandı. Myers geliştirildi.
Sir Roger, kanıtı “çok karmaşık” buldu. Yine de Einstein’dan “son derece büyülenmişti” ve şöyle dedi: “Gerçekten iyi bir şekil, dikkat çekici derecede basit.”
yaratıcı el işleri
Sadelik dürüstçe geldi. Bay Smith’in soruşturmaları çoğunlukla elle yapıldı; ortak yazarlarından biri onu “hayal gücü kuvvetli bir mucit” olarak tanımladı.
Başlangıçta, Delft, Hollanda’da bir kiremitçi ve bulmaca teorisyeni olan Jaap Scherphuis tarafından geliştirilen yazılım olan PolyForm Puzzle Solver ile bilgisayar ekranında “el yordamıyla oynuyordu”. Ancak bir şeklin potansiyeli olduğunda, Bay Smith 32 kart stoğu kopyasından oluşan bir başlangıç partisi oluşturmak için bir Silhouette kesme makinesi kullanırdı. Daha sonra karoları boşluk veya üst üste binme olmaksızın bir yapboz gibi birbirine yerleştirdi, karoları gerektiği gibi çevirdi ve döndürdü.
Bay Smith, “Dahil olmak her zaman güzeldir,” dedi. “Oldukça meditatif olabilir. Ve bir şeklin nasıl mozaiklenip, nasıl mozaiklenmediğinin daha iyi anlaşılmasını sağlıyor.”
Kasım ayında, uçağı tekrarlayan bir desen olmadan dolduruyor gibi görünen bir karo bulduğunda, Waterloo Üniversitesi’nde ortak yazar ve bilgisayar bilimcisi olan Craig Kaplan’a bir e-posta gönderdi.
Bay Smith, “Bu şekil sözde ‘Einstein sorununa’ bir cevap olabilir mi – şimdi bu bir şey olmaz mı?” diye yazdı.
“Bu şekille olağandışı bir şey olduğu açıktı,” dedi Dr. papaz Algoritması, önceki araştırmalara dayanan hesaplamalı bir yaklaşım kullanarak, her zamankinden daha büyük şapka döşemeleri oluşturdu. “Yazılımın ne kadar büyük bir karo bloğu oluşturabileceğinin bir sınırı yok gibiydi” dedi.
Bu ham verilerle, Bay Smith ve Dr. Kaplan’ın hiyerarşik yapısı ile karoların gözü. doktor Kaplan, geleneksel bir aperiyodiklik kanıtını açan bir anlatı davranışını keşfetti ve deşifre etti – matematikçilerin “periodik olmayan karo adayınız olduğunda çekmeceden çıkardıkları yöntem” dedi.
İlk adım, dedi Dr. Kaplan, “bir, iki veya dört şapkadan oluşan küçük gruplamaları temsil eden basit şekiller olan dört ‘metatil’ kümesini tanımlayacaktı.” Metatiller, benzer şekilde davranan dört büyük şekil halinde birleşir. Dr. papaz “Daha sonra, bu tür bir hiyerarşik düzenlemenin esasen uçağı şapkalarla döşemenin tek yolu olduğunu ve bunun da uçağın asla periyodik olarak döşenemeyeceğini göstermek için yeterli olduğunu gösteriyoruz.”
“Çok akıllıca” dedi Dr. Lexington, Massachusetts’te emekli bir elektrik mühendisi olan Berger, bir röportajda. Kulağa titiz gelme riskini göze alarak, şapka döşemesi yansımaları kullandığından – şapka şeklindeki döşeme ve onun ayna görüntüsü – bazılarının bunun tek bir döşeme yerine iki döşemeli aperiodik monotil bir küme olup olmadığını merak edebileceğine dikkat çekti.
doktor Goodman-Strauss bu inceliği bir döşeme listesinde ele almıştı: “Bir veya iki şapka var mı?” Fikir birliği, bir monotilin yansımasını kullanırken bile böyle sayılmasıydı. Bu açık bir soru bırakıyor, dedi Dr. Berger: İşi düşünmeden yapan bir Einstein var mı?
Altıgenlerde saklan
doktor Kaplan, “şapkanın” yeni bir geometrik icat olmadığını açıkladı. Bu bir poli ejderhadır – sekiz ejderhadan oluşur. (Bir altıgen alın ve her bir kenarın merkezini karşı tarafın merkezine bağlayan üç çizgi çizin; ortaya çıkan altı şekil uçurtmadır.)
Dr. papaz “Görünürde saklandığını düşünmek hoşuma gidiyor.”
Smith College’da matematikçi olan Marjorie Senechal, “Bir bakıma orada oturmuş birinin onu bulmasını bekliyordu” dedi. Senechal’in araştırması, ilgili matematiksel kristalografi alanını ve yarı kristalli bileşikleri araştırıyor.
Araştırmaları periyodik karoların, özellikle de Hollandalıların matematiksel analizine odaklanan Moravya Üniversitesi’nden matematikçi Doris Schattschneider, “Beni en çok etkileyen şey, bu periyodik olmayan karoların mümkün olduğunca periyodik olan altıgen bir kafes üzerinde düzenlenmesidir” dedi. sanatçı MC Escher.
doktor Seneçal kabul etti. “Tam altıgenlere oturuyor,” dedi. “Kaç kişi dünyayı tekmeleyecek ve bunu neden görmediğimi merak edecek?”
Einstein ailesi
İnanılmaz bir şekilde, Bay Smith daha sonra ikinci bir Einstein buldu. Ona “kaplumbağa” adını verdi – sekiz yerine on ejderhadan oluşan bir polidrake. “Ürkütücüydü” dedi Dr. papaz Paniklediğini hatırladı; o zaten “boynuna kadar şapkasının içindeydi”.
Ama doktor Benzer hesaplamalar yapmış olan Myers, hemen şapka ile kaplumbağa arasında derin bir bağlantı keşfetti. Ve aslında bütün bir akraba Einstein ailesi olduğunu fark etti – birbirine dönüşen kesintisiz, sayılamayan bir sonsuz form.
Bay Smith, diğer bazı aile üyelerinden o kadar etkilenmemişti. “Biraz sahtekarlara veya mutantlara benziyorlardı” dedi.
Ancak bu Einstein ailesi, periyodikliği kanıtlamak için yeni bir araç sunan ikinci kanıtı motive etti. Matematik “gerçek olamayacak kadar iyi” görünüyordu, dedi Dr. Bir e-postada Myers. “Periyodikliği kanıtlamak için bu kadar farklı bir yaklaşım beklemiyordum – ancak ayrıntıları yazarken her şey yerine oturdu.”
doktor Goodman-Strauss, yeni tekniği keşfin çok önemli bir yönü olarak görüyor; Bugüne kadar, yalnızca bir avuç düzensizlik kanıtı vardı. Bunun “güçlü peynir” olduğunu, belki de sadece ölümcül uzmanlar için bir şey olduğunu kabul etti. İşlem yapması birkaç gün sürdü. “Sonra bayıldım” dedi.
Bay Smith, araştırma çalışmasının bir araya geldiğini görünce şaşırdı. “Dürüst olmak gerekirse hiç yardımcı olmadım.” Resimleri takdir ederek, “Ben daha çok imaj insanıyım” dedi.